An elementary derivation of the optimal control conditions
- Paper ID
IAF-61-18
- author
- company
University of California / Lockheed Missiles & space company
- year
1961
- abstract
An Elementary Derivation of the Optimal Control Conditions. This paper contains an elementary derivation of the necessary conditions for optimal control—i.e., for the existence of a minimum of a function of the final values of the independent variable and of the state variables—of a system described by n ordinary first order differential equations involving n state variables and m bounded control variables. The derivation is based on the variational state equations and the system of equations adjoint to them. The so-called “Maximum Principle,” generally deduced from a consideration of large control variations, is derived by use of small control variations for certain classes of problems. The existence of determinate as well as indeterminate solutions of problems involving variable, linear control is demonstrated by means of examples. Eine elementare Ableitung optimaler Regelungsbedingungen. Die notwendigen Bedingungen fiir den optimalen Regelungsgang werden auf elementarem Wege herge- leitet; d.h., die notwendigen Bedingungen für die Existenz eines Minimums einer Funktion der Endwerte der unabhangingen Variabeln und der Zustandsgrossen eines Systems von n gewohnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung, die n Zustandsgrossen und m beschrankte Regelungsgrossen enthalten. Diese Herleitung beruht auf den Variationsgleichungen der Zustandsgrossen und dem damit verbundenen Gleichungssystem. Für eine gewisse Klasse von Problemen wird das sogenannte “Maximumprinzip,” welches fur gewohnlich auf Grund grosser Variationen der Re- gelungsgrossen gewonnen wird, bier mit Hilfe kleiner Variationen der Regelungsgrossen abgeleitet. Die Existenz sowohl von bestimmbaren als auch von umbestimm- baren Losungen von Problemen linearer, variabler Regelung wird an Hand von Bei- spielen gezeigt. Une dérivation élémentaire des conditions de contrôle optimales. Cet exposé contient une dérivation élémentaire des conditions nécessaires pour qu’un système de contrôle soit optimum; c’est-à-dire de celles nécessaires pour l’existence d’un minimum d’une fonction qui dépend des valeurs terminales de la variable indépendante et des variables d’état d’un système à n équations différentielles ordinaires du premier ordre. Elles comportent n variables d’état et m variables bornées de contrôles. La dérivation est faite au moyen des équations de variation des variables d’état et du système qui leur est adjoint. Le principe, dit “du maximum” qui est tiré en général des grandes variations des variables de contrôle est obtenu ici pour une certaine classe de problèmes par une variation petite des variables de contrôle. L’existence de solutions déterminées ainsi que de solutions indéterminées de problèmes comprenant un contrôle variable et linéaire est montrée par des exemples.