Application de certaines méthodes statistiques au traitement de l' information dans le domaine spatial

Paper ID

IAF-65-45

author

• J. Max

company

CEA - CEN, Service electronique

country

France

year

1965

abstract

La notion de corrélation prend une importance sans cesse croissante dans la plupart des problèmes de traitement du signal. Rappelons brièvement la définition de la corrélation. Considérons deux processus aléatoires JL et F dont x(t) et y(t) sont des représentations; ces deux fonctions aléatoires sont supposées stationnaires et ergodiques, on appelle coefficient de corrélation de ces deux fonctions l’espérance mathématique du produit de l’une d’entre elle par la quantité imaginaire conjuguée de l’autre. Equation (1) Cxy = E[x(t).y*(t)]. (1) Mais les deux fonctions étant stationnaires et ergodiques, on démontre que la moyenne d’ensemble qu’est l’espérance mathématique peut être remplacée par une moyenne temporelle et on a alors l’équation (2). T Cxy = Lim ( x(t)-y*(t)dt. (2) T-»oo J- J 0 Le plus souvent, on est amené, pour plus d’information, a considérer les deux fonctions x(t) et y(t) décalées l’une par rapport à l’autre, par rapport à la variable indépendante, on arrive alors à la fonction de corrélation sous sa forme la plus courante. Equation (3) : T C„(t) = Lim— f x(t)-y*(t—T)dt. (3) r-K» J- J o Lorsque l’on traite de cette façon des fonctions physiques, ce qui est le cas de tout signal issu d’un capteur de mesure on a affaire à une fonction réelle (sans composante imaginaire) et dans ce cas il y a identité entre la fonction et sa quantité complexe conjuguée, l’équation (3) devient (4): T Cxy(r) = Um— ( x(f)-y(t~T)dt. (4) T-y 00 -t J 0 De même, on ne pourra jamais considérer une limite d’intégration infinie et ce que l’on mesurera sera défini par l’équation (5) ou (5') T = y j* x{t)-y(t-r)dt (5) b jr 2 C^(r) = y J x(t)-y(t-r)dt. (5') __T 2 Ceci dit, on voit que Ton peut définir un opérateur de corrélation défini par Téquation (5) T Cxy(r) = ^f§ x(t)-y(t-r)dt (5) o qui se décompose en trois opérateurs élémentaires: — décalage de l’une des fonctions par rapport à l’autre ; — multiplications des fonctions ; — intégration du produit sur la durée T. La division par T apparaît comme une opération tout à fait secondaire destinée en quelque sorte à normer l’intégrale. Selon que l’on appliquera l’opérateur corrélation à deux fonctions distinctes ou à deux fonctions identiques, on aura l’intercorrélation ou l’autocorrélation. Cette notion de corrélation peut être étendue1 à toute fonction physique, qu’elle soit: — aléatoire (avec hypothèse de stationnarité) ; — périodique ; — transitoire (de carrée sommable) ; ainsi qu’à toute fonction composée d’une combinaison de ces 3 types de fonctions. 2